[선형대수] 1. 일차연립방정식 ~ 2. 행렬과 가우스 소거법

2장. 행렬과 가우스 소거법

 

[정의 2.1] 

m x n 행렬 A에 관한 세 가지 기본행 연산은 다음과 같다. (단, 1<=i, j<=m 이며 i!=j) 

① Ri,j : i번째 행과 j번째 행을 교환.

② Ri(c) : i번째 행에 0이 아닌 상수 c를 곱한다. 

③ Ri,j(c) : i번째 행에 상수 c를 곱하여 j번째 행에 더한다. 

 

[정의 2.2] 

‘행상등' : 행렬 A에 기본행연산을 적용하여 행렬 B를 얻을 수 있을 경우, 

A와 B는 행상등(row-equivalent)하다고 말한다. 

 

[정의 2.3] 

‘행제형' : 다음 세가지 조건을 만족하는 행렬A를 ‘행제형'(row-echelon form)이라 한다. 

① 영행이 있다면 그것은 영행이 아닌 행의 아래에 있다. 

② 영행이 아닌 행이 첫 번째 0이 아닌 원소를 그 행의 ‘선도원소'라고 할 때, 모든 선도원소는 1이다. 

③ 영행이 아닌 연속된 두 행이 있어 i번째 행과 i+1번째 행이라 할 때,

    i번째 행의 선도원소는 i+1번째 행의 선도원소보다 왼쪽에 있다. (i>=1) 

 

[정의 2.4] 

‘소거행제형' (reduced row-echelon matrix) : 행제형 행렬 A가 다음 조건을 만족할 때 A를 소거행제형이라고 부른다. 

i번째 행의 선도원소가 j번째 열에 있다면 j번째 열의 다른 모든 원소는 0이다. 

 

[가우스 소거법] : 확대행렬 → 행제형 → 후진대입

step1. 확대행렬 C=(A|B)

step2. 기본행연산을 적용해서 C를 행제형으로 변환

step3. 후진대입 

 

[가우스-조르단 소거법] : 확대행렬 → 소거행제형 

step1. 확대행렬 C=(A|B)

step2. 기본행연산을 적용해서 C를 소거행제형으로 변환

step3. 자유변수 각각을 임의의 매개변수로 둔다.

step4. 행렬 D의 0이 아닌 각각의 행을 선도변수에 대해 푼다.