[선형대수] 3. 행렬연산

[정의 3.1] 

• (n차) 정방행렬 : A가 mXn 행렬일 때, m=n
• 주대각 원소 : 정방행렬의 (i, i) 원소 

 

[정의 3.2] 

• 대각행렬 : i ≠ j 인 모든 i, j에 대해 a_ij = 0일 때, A를 대각행렬이라고 함 
• 상삼각행렬 : 대각행렬이 i < j 를 만족하는 모든 i, j에 대해 a_ij = 0 일 때. 
  • 즉, 나머지는 다 0이고 위에만 역삼각형 모양을 보이는 행렬
• 하삼각행렬 : 대각행렬이 i > j 를 만족하는 모든 i, j에 대해 a_ij = 0 일 때. 
  • 즉, 나머지는 다 0이고 아래에만 삼각형 모양을 보이는 행렬

상삼각행렬(좌), 하삼각행렬(우)&amp;amp;amp;nbsp;

 

• 스칼라 행렬 : 정방행렬 중에서 주대각원소의 값이 동일한 대각행렬 
• 단위 행렬 : 정방행렬 중에서 주대각원소가 모두 1인 대각행렬 

 

 

[정의 3.3] 행렬의 상등

• A = (a_ij)와 B = (b_ij) 를 mXn 행렬이라 할 때,
  모든 i, j (1<=i<=m, 1<=j<=n)에 대해 a_ij = b_ij 인 경우,
  두 행렬 A와 B는 '서로 같다' 또는 '상등하다'고 한다.  
  • 즉, 두 행렬 A와 B가 서로 같으려면
    • 1. 두 행렬의 크기가 서로 같아야 하며 
    • 2. 대응되는 위치의 행렬원소가 같아야 한다. 

 

[정의 3.4] 행렬의 합 

• A = (a_ij), B = (b_ij). 이 둘은 mXn 행렬. 두 행렬 A, B의 합 C
  • c_ij = a_ij + b_ij (1<=i<=m, 1<=j<=n) 
  • 두 행렬의 합은 C = A + B 

[정리 3.1] 행렬의 연산 

Mmn이 mXn 행렬 전체의 집합이고 A, B, C가 Mmn의 임의의 원소라고 하면 다음이 성립한다. 

(1) A + B = B + A

(2) A + (B + C) = (A + B) + C

(3) A + O = A를 만족하는 유일한 행렬 O가 Mmn에 존재한다. 

      행렬 O를 mXn 크기의 영행렬 이라고 한다. 

(4) A + D = O 를 만족하는 행렬 D가 A에 대해 유일하게 Mmn에 존재한다. 
      이러한 D를 -A 라고 표기하며 A의 음행렬(negative matrix)라고 한다. 

      따라서 A + (-A) = O가 된다. 

 

[정의 3.5] 행렬의 스칼라곱

• A = (a_ij)가 mXn 행렬이고 c를 임의의 수라고 하면, 행렬 A와 수 c의 스칼라곱 cA는 mXn 행렬이고 다음과 같이 정의한다.
  • cA = (ca_ij)   (1<=i<=m, 1<=j<=n) 

 

[정리 3.2] 

(1)  (c+d) A = cA + dA 

(2) c(A+B) = cA + cB

(3) c(dA) = (cd)A

(4) 1A = A 

 

[정의 3.6] 행렬의 곱 

• A = (a_ij)가 mXp 행렬이고, B = (b_ij)가 pXn 행렬이면
  A,B의 곱 AB는 mXn 행렬 C = (cij)로 다음과 같이 정의한다. 

 

 

[기타] AB ≠ BA 

• 행렬의 곱은 교환법칙 성립X
• A는 mXp 행렬, B는 pXn 행렬이라고 할 때, 곱하는 순서를 바꾼 BA에 대해서는 아래의 네 가지 경우가 있을 수 있음. 
  • (1) BA를 정의할 수 없는 경우 (n ≠ m)인 경우 
  • (2) BA가 정의되지만 AB와 크기가 같지 않은 경우 
    • n = m, p ≠ n 인 경우. AB는 mXn 행렬, BA는 pXp 행렬. 
  • (3) BA가 정의되고 AB와 크기도 같지만 AB ≠ BA 인 경우 
    • ex) 
                   

    

  • (4) BA가 정의되고 AB와 크기도 같으며 AB = BA 인 경우 

[정리 3.3] 행렬의 곱셈에 관한 정리 

(1) A(B + C) = AB + AC 

(2) (A + B)C + AC + BC

(3) A(BC) = (AB)C 

(4) A(cB) = c(AB) = (cA)B

 

[정의 3.7] 전치행렬 

• A = (a_ij)를 mXn 행렬이라 하면, A의 전치행렬(transpose of A)은 mXn 행렬 A^T = ((a^T)_ij)로 다음과 같이 정의한다. 
• (a^T)_ij = a_ji     (1<=i<=m, 1<=j<=n) 

 

[정리 3.4] 행렬의 전치에 관한 성질 

(1) (A^T)^T = A

(2) (A + B)^T = A^T + B^T 

(3) (AB)^T = B^TA^T

(4) (cA)^T = cA^T

 

[기타] 대칭행렬 (symmetric matrix) 

• A^T = A 인 행렬 A를 대칭행렬이라고 한다. 
  • 행렬 A가 대칭행렬이 되려면 
  • 1. 정방행렬이어야 하며 
  • a_ij = a_ji 를 만족해야 한다. 
  • 즉, 주대각원소를 기준으로 대칭되는 위치의 행렬원소가 서로 같다. 

 

 

[기타] 3X3 행렬의 행렬식 구하는 방법

https://ko.wikihow.com/3x3-%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%9D%98-%ED%96%89%EB%A0%AC%EC%8B%9D-%EA%B5%AC%ED%95%98%EB%8A%94-%EB%B0%A9%EB%B2%95