[선형대수] 4. 역행렬

[정의 4.1] 정칙행렬

• n차 정방행렬 A에 대해 행렬 B가 존재하여 
  • AB = BA = I_n
• 을 만족할 때, A를 정칙행렬(nonsingular matrix) 또는 역연산이 가능한 행렬(invertible matrix)이라고 하며, 
• B를 A의 역행렬(inverse matrix)라고 하고 B = A^-1로 나타낸다. 

 

[정리 4.1] A가 정칙행렬이면 A^-1는 유일하다. 

 

[정리 4.2] A, B가 정칙행렬이면 다음이 성립한다. 

(1) A^-1도 정칙행렬이며 (A^-1)^-1 = A 이다. 

(2) AB도 정칙행렬이며 (AB)^-1 = B^-1A^-1 이다. 

(3) c가 0이 아닌 상수일 때, cA도 정칙행렬이며 (cA)^-1 = 1/c A^-1 이다. 

(4) A^T도 정칙행렬이며 (A^T)^-1 = (A^-1)^T 이다. 

 

[따름정리] A₁, A₂, ..., A_m을 m개의 n차 정칙행렬이라고 하면 다음이 성립한다.

• (A₁ A₂ ... A_M)^-1 = A_m^-1 A_m-1^-1 ... A₂^-1A₁^-1

 

[정의 4.2] 기본행렬 E (Elementary matrix) 

• n차 단위행렬 I에 기본행연산을 한 번만 적용하여 얻는 행렬 E를 '기본행렬' 이라고 한다. 

 

[정리 4.3] A, B를 nXp 행렬이라 하면 다음이 성립한다. 

(1) A에 기본행연산 R을 적용한 결과는 EA와 같다. 

• 단, 행렬 E는 n차 단위행렬에 동일한 기본행연산 R을 적용하여 얻은 기본행렬이다. 

(2) A와 B가 행상등하다면 유한 개의 기본행렬 E₁, E₂, ... , E_k가 존재하여 다음을 만족한다.

• A = E₁E₂ ... E_kB

 

[정리 4.4] 기본행렬은 정칙행렬이며, 그 역행렬은 동일한 종류의 기본행렬이다. 

 

A가 n차 정칙행렬이라면 A에는 영행이나 영렬이 없다. 

 

[정리 4.5] A가 n차 정방행렬일 때, 다음은 서로 동치이다. 

(1) A는 정칙행렬이다.

(2) A와 I_n은 행상등하다.

(3) A는 유한 개의 n차 기본행렬의 곱이다. 

 

[정리 4.6]